Из личных воспоминаний детства запомнилось, как мы между мальчишками соревновались, кто самое большое число назовёт. Называл кто-то число (очень большое), а другие больше этого числа и не знали, поэтому другой называл число +1, следующий ещё +2 и т.д.Но это не будет длиться "бесконечно", так как число должно чему-нибудь соответствовать!!! Так что самое большое число, зафиксированное Книгой рекордов Гиннеса - это число Грэма (Graham's number), хотя Вики выдаёт числа ещё бОльше, число TREE(3)
https://ru.wikipedia.org/wiki/TREE(3), которое используется в современных математических доказательствах, например, в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала. Есть и "заоблачные" - SSCG(3), SCG(13), а также числа, задаваемые с помощью невычислимых функций, такие, как число Райо.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Большие_числа

Число Грэма в первый раз было применено в 1977 году при доказательстве оценки в теории Рамсея. Оно выражено в особой 64-уровневой системе, поскольку связано с бихроматическими гиперкубами. Вывел систему Кнут в 1978 году. Он придумал понятие сверхстепень и предложил записывать ее стрелками вверх. В итоге, число Грэма G63 или просто G и является самым большим числом в мире. Оно даже попало в Книгу рекордов Гиннеса. Последние 50 цифр числа Грэма — это ...03222348723967018485186439059104575627262464195387.

Число Грэма — верхняя граница для наименьшего числа измерений гиперкуба, при котором двухцветная раскраска линий, соединяющих все пары вершин этого куба, обязательно содержит одноцветный 4-вершинный копланарный полный подграф.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Число_Грэма