Алексей Кудря родился в семье музыкантов-профессионалов, в Москве (Moscow). Он с отличием окончил ММШ им. Гнесиных. В 2004-м году Кудря окончил оркестровый факультет Российской академии музыки имени Гнесиных (Gnessin State Musical College), где обучался в классе флейты и симфонического дирижирования. Одновременно с этим Алексей окончил класс академического вокала в МУ им. С.С. Прокофьева (S. S. Prokofiev), а затем в 2006-м — аспирантуру РАМ им. Гнесиных.

В период с 2006-го по 2007-й он учился в Центре оперного пения при художественном руководстве Галины Вишневской (Galina Vishnevskaya Opera Centre), а в 2008-м — в Россиниевской академии молодых певцов (Academy of Young Opera Singers) под руководством великого Альберто Дзедда (Alberto Zedda).

В период с 2004-го по 2006-й Кудря работал солистом Московского академического музыкального театра им. К.С. Станиславского и Вл.И. Немировича-Данченко (Stanislavski and Nemirovich-Danchenko Moscow Academic Music Theatre). За это время он исполнил партии Гвидона в опере Н. А. Римского-Корсакова (N.A. Rimsky-Korsakov) 'Сказка о царе Салтане' ('Tale of Tsar Saltan'), Фернандо в опере В.А. Моцарта (Mozart) 'Так поступают все женщины' ('Cosi fan tutte, ossia La scuola degli amanti'), Неморино в 'Любовном напитке' ('L'elisir d'amore') Г. Доницетти (Donizetti) и др.

Будучи членом МТО 'Виртуозы России', Алексей отправился в гастрольный тур по Южной Корее (South Korea) и Великобритании (UK), а также выступал во многих российских городах и городах ближнего зарубежья. Он выступал с питерским оркестром Государственной капеллы им. М.И. Глинки (M. I. Glinka), Государственным симфоническим оркестром под управлением Владимира Понькина и Государственным симфоническим оркестром Ульяновской филармонии на правах солиста-флейтиста. Также российский тенор работал с камерными оркестрами, включая 'Cantus firmus' и 'Musica Viva'. Алексей выступил в качестве вокалиста в официальных концертах ЧМ по футболу в Германии (Germany) в 2006-м году. Он исполнил партию Фернандо на концертных представлениях, которые были посвящены 250-летнему юбилею Моцарта, в проекте под управлением Т. Курентзиса (Teodor Currentzis), как в Новосибирске, так и в Москве.

В конце 2006-го Кудря впервые выступил на европейской сцене — с партией Неморино в Австрии (Austria), после чего отправился в немецкий город Бонн (Bonn), где спел партию лорда Артуро в трагической опере Гаэтано Доницетти 'Лючия ди Ламмермур' ('Lucia di Lammermoor').

В период с 2007-го по 2008-й он сыграл Аристофана в опере Телеманна (Telemann) 'Терпеливый Сократ' ('Patient Socrates') на фестивале старинной музыки в Инсбруке (Innsbruck), а также Ленского из оперы П.И. Чайковского (P.I. Tchaikovsky) 'Евгений Онегин' ('Eugene Onegin') в Любеке (Lübeck). В этот же период Кудря пополнил свой репертуар партиями Лыкова из 'Царской невесты' ('Tsar's Bride') Н.А. Римского-Корсакова во Франкфуртской государственной опере (Frankfurt Opera) и графа Альмавива из 'Севильского цирюльника' ('Il Barbiere di Siviglia') Дж. Россини (Gioachino Rossini). На итальянском Россиниевском оперном фестивале в Пезаро (Rossini Opera Festival,　Pesaro) Кудря сыграл графа Либенскофа в 'Путешествии в Реймс' ('Il viaggio a Reims'), а также ту же самую роль в театрах городов Авиньон (Avignon), Реймс (Reims) и Виши (Vichy).

В 2009-2010 он вновь предстал в знакомом облике Либенскофа в таких городах, как Монпелье (Montpellier), Клермон-Ферран (Clermont-Ferrand), Мец (Metz), Нант(Nantes) и др., исполнил партии Фернандо из оперы 'Так поступают все женщины' в Баварской государственно опере (Bavarian State Opera) и Неморино в Берне (Bern) и Бари (Bari). Алексей поддерживает сотрудничество с Московской филармонией (Moscow Philharmonic Orchestra), МГК им. Чайковского, Михайловским театром Санкт-Петербурга (Mikhailovsky Theatre St Petersburg), московским театром им. Станиславского и Немировича-Данченко и др. На испанском фестивале в Ла-Корунье (La Coruña) и Венской государственной опере (Vienna State Opera) ему предстоит исполнить партии Оттавио из оперы 'Дон Жуан' ('Don Giovanni') Моцарта. Помимо этого, в будущие ангажементы тенора входят партии: Дона Рамиро из 'Золушки' ('La Cenerentola') Россини, принца Тамино в Австрии, графа Альмавива в нью-йоркском театре Метрополитен-Опера (Metropolitan Opera) и в Генуе (Genova). Наконец, выступления Кудря намечены в оперных театрах в Вашингтоне (Washington), Лондоне (London), Сантьяго-де-Чили (Santiago de Chile), Антверпене (Antwerp) и др.